PERTIDAKSAMAAN KUADRAT

2.  Sebuah sepeda melaju di jalan raya dengan persamaan lintasan s(t) = t² – 10t + 39. Jika x dalam meter dan t dalam detik, tentukan interval waktu agar sepeda itu telah menempuh jarak sekurang-kurangnya 15 meter.

Jawab:

Sepeda itu dapat menempuh jarak sekurang-kurangnya 15 meter, artinya s(t) ≥ 15. Jadi, model matematikanya adalah t² – 10t + 39 ≥ 15. Model ini dapat diselesaikan dengan cara sebagai berikut.

t² – 10t + 39 ≥ 15

⇒ t² – 10t + 39 – 15 ≥ 0

⇒ t² – 10t + 24 ≥ 0

⇒ (t – 6)(t – 4) ≥ 0

⇒ t ≤ 4 atau t ≥ 6

Dengan demikian, interval waktu agar sepeda itu telah menempuh jarak sekurang-kurangnya 15 meter adalah t ≤ 4 detik atau t ≥ 6 detik.

Soal - Soal : 

1. Tentukan HP dari pertidaksamaan berikut :

     a.  x² – 2x - 3 ≤ 0

     b.  -2x² – 11x - 15 < 0

     c.   x² – 4x + 4 < 0

2.  Hasil produksi suatu barang dapat dinyatakan dengan persamaan  H(x) = – x²+ 28 x −    60  unit barang untuk bahan bakuyang diperlukan. Jika hasil produksi (H) mencapai lebih dari 100 unit, maka berapa banyak bahan baku x yang diperlukan ?

3. Keliling sebuah persegi panjang sama dengan 20 cm. Jika luas persegi panjang itu tidak kurang  dari 21 cm², maka tentukanlah batas-batas nilai panjang dari persegi panjang tersebut. ?

4. Sebuah peluru ditembakkan ke atas. ketinggian peluru yang dicapai (dalam meter) dinyatakan  sebagai h(t) = 30t – t². Berapa lamakah peluru itu berada pada ketinggian tidak kurang dari 221 meter?

5. Suatu kolam renang berbentuk persegi panjang akan dibuat dengan keliling 30 m. Jika luas kolam  renang paling sedikit 50 m², maka tentukanlah interval panjang kolam renang (dalam meter) yang memenuhi syarat tersebut. ?

6. Permukaan sebuah meja berbentuk persegi panjang dengan panjang 16x cm dan lebar 10x cm.  Jika luasnya tidak kurang dari 40 dm², tentukan ukuran minimum permukaan meja tersebut. ?

PERTIDAKSAMAAN LINIER SATU VARIABEL

Apa itu Pertidaksamaan Linear Satu Variabel ?

Jika suatu persamaan diapit oleh simbol tanda sama dengan (=), maka pertidaksamaan diapit oleh simbol selain tanda sama dengan. Simbol-simbol yang digunakan dalam pertidaksamaan adalah:

               >    Lebih dari

                     <    Kurang dari

                    ≥    Lebih dari atau sama dengan

                     ≤    Kurang dari atau sama dengan

                    ≠    Tidak sama dengan

Nah karena yang kita singgung adalah linear satu variabel, maka dengan demikian kita dapat menyimpulkan bahwa suatu "pertidaksamaan linear satu variabel adalah " : Pertidaksamaan yang terdiri dari satu variabel dan pangkat  terbesar dari variabel tersebut adalah satu.

Perhatikan beberapa bentuk pertidaksamaan berikut ini.

(a) x + 1 > 0

(b) 2x – 4 < 3

(c) 5x + 7 ≥ −3

(d) 4x + 1 ≤ 5

Pertidaksamaan yang memuat satu variabel berderajat 1 seperti di atas disebut dengan pertidaksamaan linear satu variabel. Dalam variabel x, pertidaksamaan linear ini memiliki 4 macam bentuk baku sebagai berikut :

■ ax + b < 0

■ ax + b ≤ 0

■ ax + b > 0

■ ax + b ≥ 0

dengan a dan b bilangan real dan a ≠ 0

Menyelesaiakan Pertidaksamaan Linier Satu Variabel (Ptlsv)

Terdapat 3 cara yang bisa Anda gunakan untuk menyelesaiakan soal Pertidaksamaan Linier Satu Variabel (PtLSV), yaitu :

  1. Subtitusi

Dengan cara ini, Anda bisa menggunakan atau mengganti sembarang x untuk dimasukkan ke dalam formula pertidaksamaan untuk mendapatkan pernyataan yang benar.

Contohnya : 5x + 2 > 12

Penyelesaian :

Jika x = 1 maka 5 (1) + 2   > 12

                5 + 2 > 12

                   7  > 12 (salah)

Jika x = 3 maka   5 (3) + 2 > 12

                15 + 2 > 12

                   17 > 12 ( pernyataan benar )

Untuk cara pertama ini, kurang efektif karena harus melakukan try error.. Cara yang paling ideal gunakan cara ke dua atau ketiga yang akan dijelaskan dibawah ini.

  2. Ekuivalen/Neraca/Timbangan

Pertidaksamaan bisa dikerjakan dengan cara:

   a. Menambah dan mengurangi dengan bilangan yang sama, mengalikan atau membagi dengan               bilangan positif dan tidak mengubah tanda pertidaksamaan

  b. Mengalikan atau membagi dengan bilangan negatif dan  mengubah tanda pertidaksamaan menjadi     lawan misalnya tanda > menjadi <.   atau sebaliknya  < menjadi >

Contohnya :

2x – 1 > 4 x + 5

Penyelesaian :

= 2x – 1 + 1 > 4 x + 5 + 1 ( kedua ruas di tambah 1 dan tidak mengubah tanda)

= 2x > 4x + 6

= 2x – 4x > 4x – 4x + 6 (kedua ruas dikurangi 2x)

= -2x > 6

= -2x / -2 > 6/ -2 (kedua ruas dibagi -2 dan mengubah tanda )

= x < -3

  3. Pindah Ruas

Contohnya :

6 (x – 3) > 2x + 5

Penyelesaian :

= 6x – 18 > 2x + 5

= 6x – 2x > 18 + 5

= 4x > 22

= x > 22/4

= x > 5,5

Latihan  Soal

1. Tentukan nilai x dari pertidaksamaan :x – 3 ≤ 2, x bilangan bulat antara -3 dan 8 ?

   

2. Tentukan himpunan penyelesaian dari 4 + 𝑝 ≤ 9 dengan p ∈ 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑎𝑠𝑙𝑖 ?. 

     

3. Tentukan himpunan penyelesaian dari 2x + 5 ≤ 11 dengan x bilangan bulat ?

4. Carilah Himpunan penyelesaian dari 5x – 5 > 10 dengan x anggota bilangan asli ?

5. Carilah Himpunan penyelesaian dari 2x + 6 < 14 dengan x anggota bilangan bulat ?

6. Carilah Himpunan penyelesaian dari 4 ( x + 4 ) > 2x + 6 dengan x anggota bilangan bulat ? 

PERSAMAAN NILAI MUTLAK

Nilai mutlak suatu bilangan dapat diartikan jarak antara bilangan tersebut dari titik nol(0). Dengan demikian jarak selalu bernilai positif.

Misalnya:

Parhatikan garis bilangan berikut.

Jarak angka 6 dari titik 0 adalah 6

Jarak angka -6 dari titik 0 adalah 6.

Dari penjelesan di atas memang tampak bahwa nilai mutlak suatu bilangan selalu bernilai positif. 

Berkaitan dengan menentukan nilai mutlak suatu bilangan, maka muncullah tanda mutlak. Tanda mutlak disimbolkan dengan  garis 2 ditepi suatu bilangan atau bentuk aljabar.

Contoh :

1         |6|   =  6

2         |- 6 |=  6

Secara umum, bentuk persamaan nilai mutlak dapat dimaknai seperti berikut.

Jika kita mempunyai persamaan dalam bentuk aljabar, maka dapat dimaknai sebagai berikut

Mari kita cermati beberapa bentuk persamaan nilai mutlak berikut :

Untuk memperdalam pemahaman kalian, mari kita cermati beberapa contoh berikut :

Contoh 1 Tentukan Himpunan penyelesaian dari |x| = 6

Penyelesaian

|x| = 6 

 x = 6 atau x = – 6

Himpunan penyelesaiannya adalah {– 6 , 6}.

Contoh 2 Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan |2p| = 18

Penyelesaian:

|2p| = 18 

 2p = 18 atau 2p = – 18 

 p = 9 atau p = – 9

Himpunan penyelesaiannya adalah {– 9 , 9}.

Contoh 3 Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan | x – 4| = 7

Penyelesaian

|x – 4| = 7 

 x – 4 = 7 atau x – 4 = – 7 

 x = 11 atau x = – 3

Himpunan penyelesaiannya adalah {– 3 , 11}.

Contoh 4 Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan |5x + 3| = |2x|

Penyelesaian

|5x + 3| = |2x| 

 5x + 3 = 2x atau 5x + 3 = –(2x) 

3x = – 3 atau 5x + 3 = – 2x 

x = – 1 atau 7x = – 3 

x = 1 atau x = -3/7

Himpunan penyelesaiannya adalah {-1 , -3/7} .

SOAL :

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan nilai Mutlak di bawah ini.

 1.      |X + 5|  = 3

2.       |2X − 3|  = 5

3.        |x + 1| + 2X =  7

4.       |3x + 4|  =  x − 8

5.   –5|x – 7| + 2 = –13

6.    |5 – 2/3 x| – 9 = 8

7.    |–2x| + 5 = 13

8.   – 3|x-4|+5 = 14

9.    |4 – 2/5 x|-7 = 13

10.  |2x - 7| = 3

11.  |2x - 1| = |x + 4|
12.  Jabarkan bentuk nilai mutlak berikut :
       a.  |4x - 3|
       b.  |2x + 8|
13.  Nilai x yang memenuhi persamaan |x - 2| = 2x + 1
14.  Nyatakan |x - 4| + |2x + 6| tanpa menggunakan simbol nilai mutlak
15.

16. Tentukan penyelesaian dari |x-2| = |6+2x|

17. Tentukan nilai x yang memenuhi |2x+16|=x+4

18. Tentukan nilai x dari |3x+2|²+|3x+2|-2=0

Penyelesaian Soal No. 12 a dan 17

12. a.  Untuk |4x - 3|
           |4x - 3| = 4x - 3       jika  x ≥ 3/4
           |4x - 3| = -(4x - 3)  = − 4x + 3   jika  x < 3/4

17. Tentukan nilai x yang memenuhi |2x+16|=x+4

Penyelesaian :

|2x+16|

===> 2x+16 untuk 2x+16 ≥ 0

                                           2x ≥ -16

                                            x  ≥ -16/2

                                            x  ≥  -8

===> -(2x+16) untuk 2x+16 < 0

                                            2x    < -16

                                              x     < -16/2

                                              x     <  -8

====>Untuk interval x≥-8

|2x+16| = x+4

  2x+16  = x+4

   2x-x    = 4-16

         x    = -12

x=-12 tidak termuat dalam interval x≥8

Jadi interval x≥8 tidak mempunyai penyelesaian.

====>Untuk interval x<-8

 |2x+16| = x+4

-(2x+16) = x+4

   -2x-16   = x+4

   -2x-x     = 4+16

       -3x     = 20

          x      = 20/-3

          x      = -6 2/3

x=-6 2/3 tidak termuat dalam interval x<-8

Jadi interval x<-8 tidak mempunyai penyelesaian.

PERSAMAAN LINIER SATU VARIABEL

Dari kata-kata "Persamaan Linear Satu Variabel", kita melihat adanya kata "Persamaan".

Seperti yang kita ketahui bahwa : Persamaan merupakan suatu kalimat terbuka yang dihubungkan dengan simbol sama dengan (=) pada kedua ruasnya.

I. Pengertian Kalimat Terbuka

Kalimat terbuka merupakan sebuah kalimat yang di dalamnya terkandung satu atau lebih variabel yang nilai kebenarannya belum diketahui. 

Contoh kalimat terbuka adalah

 x+ 2 = 15

Persamaan di atas memiliki satu variabel yaitu : x.

Maka disebut persamaan linear satu variabel 

II. Pengertian Persamaan Linear Satu Variabel

Persamaan Linear Satu Variabel adalah persamaan yang terdiri dari satu variabel dan pangkat terbesar dari variabel tersebut adalah satu.

atau

Persamaan Linear satu variabel adalah kalimat terbuka yang dihubungkan tanda sama dengan ( = ) dan hanya memiliki satu variabel berpangkat 1. 

Bentuk Umum Persamaan Linear Satu Variabel:  ax + b = 0 , dengan a≠ 0

Catatan:

• Persamaan diatas memiliki satu variabel yaitu :x 
• Pangkat dari variabel tersebut harus 1, terkadang tidak ditulis. Jadi x¹ sama maksudnya dengan x (tanpa ditulis pangkatnya).
• Angka di depan variabel disebut sebagai koefisien 
• Angka yang tidak memiliki variabel disebut konstanta. Misalkan 2x+5=0, memiliki konstanta 5. 
• Seberapun banyak variabel sejenis yang ditulis, tetap persamaan tersebut dianggap satu variabelnya. Contoh 4x+5 = 2x + 2. Persamaan tersebut dianggap memiliki satu variabel, yaitu :x

Contoh Persamaan Linear Satu Variabel

Yang manakah persamaan dibawah ini yang dianggap sebagai persamaan linear satu variabel  ?

a. 2x+ 5 = 10

b. x²+ 3x = 18

c. 2x + 2y = 8

d. x^1/2+ 5 = 10

e. 2x +5 = 4x - 7

Penyelesaian: 
a. Variabel pada persamaan 2x+ 5 = 10 adalah x dan berpangkat satu, maka persamaan linear satu variabel.
b. Variabel pada persamaan x²+ 3x = 18 adalah x yang memiliki pangkat satu dan dua, maka tidak termasuk persamaan linear satu variabel.
c. Variabel pada persamaan 2x + 2y = 8 adalah x dan y, karena terdapat dua variabel, maka tidak termasuk persamaan linear satu variabel.
d. Variabel pada persamaan  x^1/2+ 5 = 10 adalah x namun bukan berpangkat satu (berpangkat 1/2), maka tidak termasuk persamaan linear satu variabel.
e. Variabel pada persamaan 2x +5 = 4x - 7 adalah x. Walaupun terdapat variabel x pada ruas kiri dan ruas kanan, namun dianggap satu variabel yaitu :x. Oleh karena itu dianggap sebagai persamaan satu variabel juga.

Contoh persamaan linear satu variabel diantaranya:

x + 2 – 6
4a + 3 = 15
5b – 2 = 17

x, a dan b adalah variabel (peubah) yang dapat digantikan dengan sembarang bilangan yang memenuhi.

III. Cara Penyelesaian Persamaan Linear Satu Variabel

Ada tiga cara untuk menentukan penyelesaian dan himpunan penyelesaian dari suatu persamaan linier satu variable yaitu:
1. Cara Subtitusi

  Contoh :

  Diketahui persamaan 3x-1=14; jika x Merupakan anggota himpunan P = ( 3,4,5,6) !

  Jawab :

     3x-1=14 x Є P = (3,4,5,6)

    Cara subtitusi :

    3x-1= 14; jika x = 3 = maka 3(3) – 1 = 8 (salah)

    3x-1= 14; jika x = 4 = maka 3(4) – 1 = 11 (salah)

    3x-1= 14; jika x = 5 = maka 3(5) – 1 = 14 (benar)

    3x-1= 14; jika x = 6 = maka 3(6) – 1 = 17 (salah)

    Jadi , penyelesaian dari 3x-1+14 adalah 5

2.Mencari persamaan-persamaan yang ekuivalen (Cara Timbangan atau Neraca)
    a. Menambah atau mengurangi kedua ruas dengan bilangan yang sama
    b. Mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilangan bukan nol yang sama.

        Berdasarkan penjelasan diatas, agar kalian lebih memahami  berikut contohnya:

    Contoh :

    Diketahui persamaan 3x-1=14

    Mencari persamaan-persamaan yang ekuivalen (Cara Timbangan atau Neraca)

Dari table diatas, Jika x = 5, disubtituskan pada (a),(b) dan (c) maka persamaan tersebut menjadi suatu kesamaan .

(a).3x-1=14

      3(5) – 1 = 14

           14 = 14 (ekuivalen)

(b).3x =15

     3 (5) = 15

        15 = 15 (ekuivalen)

(c).x = 5

     5 = 5 (ekuivalen)

     Artinya 3x – 1 = 14 dan 3x = 15 merupakan persamaan yang ekuivalen .

3. Cara Pindah Ruas

   Contoh :

   1. Nilai x yang memenuhi persamaan 3x + 5 = 14 

     Cara Penyelesaiannya :

     3x + 5 = 14

          3x = 14 – 5

          3x = 9

          x  = 9 : 3

           x =  3

   2. Nilai x yang memenuhi persamaan  5x- 7 = 3x + 5 

      Cara Penyelesaiannya :

       5x- 7 = 3x + 5

     5x – 3x = 5 + 7

          2x = 12

            x = 6

 Latihan Soal

1. Tentukan persamaan dari 2x - 1 = 5 

2. Berapakah nilai x dari persamaan : 3(x – 1) + x = –x + 7.

3. Tentukan nilai n dari persamaan : 2n + 2 = 12

4. Diberikan persamaan satu variabel berikut ini: 10x + 12 = 3x + 33,       maka tentukan nilai x dari persamaan : 2x + 5= ......... ?

5. Tentukan nilai x dari persamaan  : 3(x + 5) -(x – 3) = 36

  6.Persegipanjang ABCD memiliki ukuran panjang 4 cm lebihnya dari lebar. Jika    keliling persegi  panjang ABCD adalah 48 cm, tentukan:

  a) lebar persegipanjang

  b) panjang persegipanjang

  c) luas persegipanjang

  7. Umur ibu 3 kali umur anaknya. Selisih umur mereka adalah 30 tahun.   Berapakah umur anak dan ibunya ?

Uraikanlah cara mengerjakan soal-soal berikut ini :

Soal ❶ (UN 2017)

Taman bunga Pak Rahman berbentuk  persegi panjang dengan ukuran panjang diagonalnya (3x + 15) meter dan (5x + 5) meter. Panjang diagonal taman bunga tersebut adalah...

A. 10 meter

B. 25 meter

C. 30 meter

D. 55 meter

Soal ❷(UN 2017)

Kebun  sayur Pak Joko berbentuk persegi dengan panjang diagonal (4x +6)dan (2x + 16) meter. Panjang diagonal kebun sayur tersebut adalah....

A. 38 meter

B. 32 meter

C. 28 meter

D. 26 meter

Soal ❸(UN 2016)

Nada membeli kue untuk lebaran. Harga satu kaleng kue nastar sama dengan 2  kali harga satu kaleng kue keju. Harga 3 kaleng kue nastar dan 2 kaleng kue  keju Rp480.000,00. Uang yang harus dibayarkan Nada untuk membeli 2 kaleng kue nastar dan 3 kaleng kue keju  adalah.....

A. Rp480.000,00

B. Rp420.000,00

C. Rp360.000,00

D. Rp180.000,00

Soal ❹(UN 2016)

Harga 1 ikat bayam sama dengan harga dua ikat kangkung. Bu Aminah membeli 20 ikat bayam dan 50 ikat kangkung seharga Rp225.000,00. Bu  Aisyah membeli 25 ikat bayam dan 60 ikat kangkung. Harga yang harus dibayar bu Aisyah adalah.....

A. Rp220.000,00

B. Rp275.000,00

C. Rp290.000,00

D. Rp362.000,00

Soal ❺(UN 2015)

Umur ayah p tahun dan ayah 6 tahun lebih tua dari paman. Jika jumlah umur paman dan ayah 38 tahun, maka model matematika yang tepat adalah.....

A. 2p + 6 = 38

B. 2p - 6 = 38

C. p + 6 = 38

D. p - 6 = 38

Soal ❻(UN 2015)

Fikri membeli 5 buku tulis disebuah toko, ia membayar dengan uang Rp20.000,00 dan mendapat pengembalian Rp2.500,00. Jika harga 1 buku tulis tersebut x  rupiah, maka model matematika yang benar adalah.....

A. 20.000 - 5x = 2.500

B. 5x - 2.500 = 20.000

C. 20.000 - (x+5) = 2.500

D. x + 5 = 20.000  - 2.500

Soal ❼(UN 2015)

Suatu persegi panjang, panjangnya 5 cm lebih dari lebar. Jika keliling persegi panjang 38 cm dan  lebar x cm, maka model  matematikanya adalah....

A.  5 +  x = 38

B. 2(2x + 5) = 38

C. 2(x + 5) =38

D. 5 + 2x = 38

Soal ❽(UN 2014) 

Diketahui keliling persegi panjang 94 cm dengan ukuran panjang (5x + 2) cm, dan lebar (2x + 3) cm, maka panjang dan lebar persegi panjang sebenarnya berturut-turut adalah....

A. 24 cm dan 23 cm

B. 25 cm dan 22 cm

C. 32 cm dan 15 cm

D. 36 cm dan 11 cm

Soal ❾(UN 2014)

Sebuah persegi panjang berukuran panjang (5x - 1) cm, dan lebar (2x + 2) cm. Jika  keliling persegi panjang itu 72 cm, maka panjang dan lebarnya adalah.....

A. 12 cm dan 10 cm

B. 16 cm dan 12 cm

C. 20 cm dan 16 cm

D. 24 cm dan 12 cm

Soal ⑩(UN 2013)

Jumlah 3 bilangan genap berurutan sama dengan 90. Jumlah bilangan terbesar dan terkecil adalah.....

A. 50

B. 60

C. 62

D. 64

Soal ⓫(UN 2013)

Jumlah 5 bilangan ganjil berurutan adalah 135. Jumlah 2 bilangan terbesarnya adalah.....

A. 54

B. 58

C. 60

D. 64

Soal No. 12

Amir memiliki kelereng sebanyak a. Budi memiliki kelereng 10 buah lebih sedikit dari kelereng Amir. Jika jumlah kelereng mereka adalah 30, pernyataan berikut yang benar adalah…
A. a + 10 = 30
B. a – 10 = 30
C. 2a + 10 = 30

D. 2a = 40